Aljabar adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar berasal dariBahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau bisa juga "penyelesaian". Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Penemu aljabar adalah Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi.
2.Jenis-Jenis Aljabar
Aljabar dapat dipilah menjadi kategori berikut:
- Aljabar dasar, yang mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai "pengganti" untuk menandakan konstanta dan variabel, dan mempelajari aturan tentang ungkapan dan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol tersebut.
- Aljabar abstrak, yang secara aksiomatis mendefinisikan dan menyelidiki struktur aljabar seperti kelompok matematika, cincin matematika dan matematika bidang.
- Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat khusus ruang vektor (termasukmatriks).
- Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar.
- Aljabar komputer, yang mengumpulkan manipulasi simbolis benda-benda matematis
3.Contoh Soal
1. Carilah nilai dari :
a. Penjumlahan (-p+2q+1) dengan (4p+2q-3)
Jawab : (-p+2q+1) + (4p+q-3)
ó -p+2q+1 + 4p+q-3
ó -p + 4p +2q+q+1-3
ó (-p + 4p) +(2q+q)+(1-3)
ó 3p +3q-2
b. Pengurangan (x + 3y -3) dari (5x +6y-5)
Jawab : (5x +6y-5) - (x + 3y -3)
ó 5x +6y-5 - x - 3y +3
ó 5x – x +6y-3y-5+3
ó (5x – x) + (6y-3y) + (-5+3)
ó 4x +3y -2
2. Hasil perkalian dari (2x- 5)(x +1) adalah ...
Jawab : (2x- 5)(x +1) = 2x2 + 2x -5x -5
= 2x2 -3x -5
3. Nilai (4x2+3x -10) : (x + 2) adalah ....
Bentuk paling sederhana dari 5x + 3y – 2 – x + y + 2 adalah …
Pembahasan :
= 5x + 3y – 2 – x + y + 2
= 5x – x + 3y + y – 2 + 2
= 4x + 4y
4.Bentuk paling sederhana dari 6a – 3b + a + 4b adalah …
Pembahasan :
= 6a – 3b + a + 4b
= 6a + a – 3b + 4b
= 7a + b
5.Bentuk paling sederhana dari 4(2x – 5y) – 5(x + 3y) adalah …
Pembahasan :
= 4(2x – 5y) – 5(x + 3y)
= 8x – 20y – 5x - 15y
= 3x - 35y
Jika P = 4x2 + 3x dan Q = 5x - x2 , maka P – 2Q = …
Pembahasan :
= P – 2Q
= 4x2 + 3x - 2(5x - x2)
= 4x2 + 3x - 10x + 2x2
= 4x2 + 2x2+ 3x - 10x
= 6x2 - 7x
6.Bentuk sederhana dari 4(p – 3q) – 3(5q + 4p) adalah …
Pembahasan :
= 4p – 12q – 15q - 12p
= 4p - 12p –12q – 15q
= - 8p – 27q
7.Operasi “ ⍔ “ didefinisikan dengan a ⍔ b = 1 – a/b
Tentukan : (1 ⍔ 2) ⍔ (3 ⍔ 4)
Jawab :
(1 ⍔ 2) = 1 – ½ = ½
(3 ⍔ 4) = 1 – ¾ = ¼
(1 ⍔ 2) ⍔ (3 ⍔ 4) = 1 – ½/¼ = 1 – 2 = – 1
7.Operasi “ ⍔ “ didefinisikan dengan a ⍔ b = a2 + 3b
Tentukan : (2 ⍔ 0) ⍔ (0 ⍔ 1)
Jawab :
(2 ⍔ 0) = 22 + 30 = 4 + 1 = 5
(0 ⍔ 1) = 02 + 31 = 0 + 3 = 3
(2 ⍔ 0) ⍔ (0 ⍔ 1) = 52 + 33 = 25 + 27 = 52
8.Tentukan x : 2(22x) = 4x + 64
Jawab :
2(22x) = 4x + 64
2(22x) = 22x + 64
22x = 64 = 26
2x = 6
x = 3
9.Jika a adalah bilangan bulat positif dan
2x + a = y
a + y = x
x + y = z
Tentukan nilai maksimun yang mungkin untuk x + y + z
Jawab :
Jika persamaan pertama dan kedua digabungkan, maka kita dapatkan x = -2a
Dengan menggunakan nilai x tersebut dan persamaan kedua, maka kita dapatkan x = -3a
Demikian pula kita akan dapatkan nilai z = -5a
Sehingga x + y + z = -2a + -3a + -5a = -10a
Karena a adalah bilangan bulat positif, maka nilai yang tertinggi adalah -10 dengan a = 1
10.Jika x + y = 4 dan xy = -12, berapakah nilai x2 + 5xy + y2?
Jawab :
x + y = 4 ⟾ (x + y)2 = 16
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 16
x2 + 5xy + y2 = x2 + y2 + 2xy + 3xy = 16 + 3 x (-12)
x2 + 5xy + y2 = – 20
11.Jika x + 2y = 84 = 2x + y , berapa nilai x + y?
Jawab :
Ada dua buah persamaan, yaitu :
x + 2y = 84, dan
2x + y = 84
Jika kedua persamaan dijumlahkan, maka :
3x + 3y = 168
Sehingga :
x + y = 56
12.Fungsi f(x) memenuhi bentuk berikut :
i) f(1) = 1
ii) f(2x) = 4 f(x) + 6
iii) f(x + 2) = f(x) + 12x + 12
Tentukan f(6)!
Jawab :
f(6) = f(4 + 2) = f(4) + 12 x 4 + 12 sifat (iii)
= f(4) + 60
= f (2 . 2) + 60
= 4 f(2) + 6 + 60 (sifat ii)
= 4 f(2) + 66
= 4 {4 f(1) + 6} + 66 (sifat ii)
= 16 f(1) + 90
= 16 + 90 = 106 (sifat i)
13.Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 6mn + 3mn
b. 16x + 3 + 3x + 4
c. –x – y + x – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2
Jawab:
a. 6mn + 3mn = 9mn
b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4
= 19x + 7
c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3
= –y – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p = 2p + 3p – 3p2 + 2q – 5q2
= 5p – 3p2 + 2q – 5q2
= –3p2 + 5p – 5q2 + 2q
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2
= 6m + 3m2 – 2m2 – 3n2 + 3n2
= m2 + 6m
14.Tentukan hasil dari:
a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10,
b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.
Jawab:
a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x2 + 4xy – 2
b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15
= –4p2 – 20p – 20
15.Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.
a. 2(x + 3) c. 3x(y + 5)
b. –5(9 – y) d. –9p(5p – 2q)
Jawab:
a. 2(x + 3) = 2x + 6 c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x
b. –5(9 – y) = –45 + 5y d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq
16.Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.
a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1)
b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5)
Jawab:
a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3
= x2 + 5x + 3x + 15
= x2 + 8x + 15
b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1
= x2 – 4x + x – 4
= x2 – 3x – 4
c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1
= 6x2 + 12x + 2x + 4
= 6x2 + 14x + 4
d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)
= –3x2 + 2x + 15x – 10
= –3x2 + 17x – 10
17.Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.
Jawab:
Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
= (5x + 3)(6x – 2)
= (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)
= 30x2 + 18x – 10x – 6
= 30x2 + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2
18.Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
a. (x + 1)(x + 2) c. (x – 2)(x + 5)
b. (x + 8)(2x + 4) d. (3x + 4)(x – 8)
Jawab:
a. (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2
= x2 + 3x + 2
b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 + 4x + 16x + 32
= 2x2 + 20x + 32
c. (x – 2)(x + 5) = x2 + 5x –2x –10
= x2 + 3x – 10
d. (3x + 4)(x –8) = 3x2 – 24x + 4x – 32
= 3x2 – 20x – 32
Tidak ada komentar:
Posting Komentar